Eine ganz kurze
Einführung in die Logik

1. Sätze
2. Logische Verknüpfungen
3. Die zweistelligen
   Satzoperatoren
4. Reduktion der Operatoren
   auf nur eine Verknüpfung
5. Konstruktion mehrstelliger
   Operatoren
6. Auswertung eines Schemas
7. Analogie zur Mengenlehre
8. Quantoren
9. Literatur

8. Quantoren

Oder man definiert sich eine Menge, die die gegebenen Aussagen enthält
M = {A,B,C,D,E},
und schreibt die Verknüpfung für alle Aussagen, die in dieser Menge enthalten sind
/\ X e M .

Das ist natürlich wenig sinnvoll. Wenn man aber lauter gleiche Aussagen über verschiedene Objekte hat, also z.b.:
Erna ist schön. UND Lisa ist schön. UND Emma ist schön. ,
dann kann man ein Prädikat bilden: S(x):= x ist schön, die Objekte, über die etwas ausgesagt wird, in einer Menge zusammenfassen: M={Erna, Lisa, Emma}, und schreiben:
/\ xeM: S(x) .

Oder in dem abstrakten Beispiel:
A,...,E=F(x1),...,F(x5) ; M={x1,...,x5} ; /\ xeM: F(x) .

Eine solche Aussage nennt man All-Aussage und das /\ Allquantor, weil die Aussage behauptet, F treffe auf alle x der Menge M zu. Interessant (d.h. sinnvoll aber problematisch) wird das Quantifizieren bei Mengen, die sehr groß bis unendlich sind.

Einen Quantor kann man konstruieren aus Operatoren, die kommutativ und assoziativ sind, weil es nicht sinnvoll ist, eine bestimmte Reihenfolge der Aussagen anzunehmen. Eine bestimmte Reihenfolge kann man nur annehmen bei Mengen, die auf der Menge der natürlichen Zahlen abbildbar sind.

Es ergibt sich, daß 3 Quantoren konstruierbar sind, und zwar der Allquantor aus der Konjunktion, der Existenzquantor aus der Adjunktion und ein Quantor aus der Äquivalenz.

Dieser dritte Quantor wird nicht benutzt, weil er sich auf den Allqantor zurückführen läßt. Er sagt ja nur, daß eine Menge von Aussagen alle den gleichen Wahrheitswert haben sollen, und das kann man auch so ausdrücken:
/\ F(x) ODER /\ -F(x) .

Bleiben also der Allquantor /\ und der Existenzquantor \/.
Der Allquantor bedeutet: Für alle x (der Menge M) gilt F;
der Existenzquator bedeutet: Es gibt mindestens ein x (der Menge M), für das gilt F.
Man schreibt den Allquantor auch mit einem umgekehrten großen A und den Existenzquator mit einem umgekehrten großen E. Für den Existenzquantor gibt es noch die Schreibweise mit Punkt oder Ausrufezeichen, die bedeuten: Es gibt genau ein x (der Menge M), für das gilt F.

Einige Quantorenregeln:
/\F(x) => \/F(x)
¬/\F(x) <=> \/¬F(x)
¬F(a) => ¬/\F(x)
¬\/F(x) => /\¬F(x)
F(a) => \/F(x)