Eine ganz kurze
Einführung in die Logik
- Sätze
- Logische
Verknüpfungen
- Die zweistelligen
Satzoperatoren
- Reduktion
der Operatoren
auf nur eine Verknüpfung
- Konstruktion
mehrstelliger
Operatoren
- Auswertung eines Schemas
- Analogie
zur Mengenlehre
- Quantoren
- Literatur
|
6.
Auswertung eines Schemas
Eine komplizierte Verknüpfung aus Variablen
für Sätze nennt man auch logisches Schema. Wenn man ein solches
Schema auswertet, will man wissen, ob man es vereinfachen kann und ob es
eine Kontradiktion oder eine Tautologie oder keins von beidem ist.
Wenn es keins von beidem ist, nennt man
es logisch indeterminiert, sonst logisch determiniert. Diese Eigenschaften
von Sätzen sind wichtig für die Erkenntnis. Tautologische Sätze
sind gewiß, indeterminierte Sätze sind möglich und kontradiktorische
Sätze sind unmöglich.
Man kann Schemata mit Wahrheitstafeln auswerten,
wie in 3 zum Beispiel. Der Beweis der Assoziativität zum Beispiel
gelingt genau dann, wenn das Schema A*(B*C)<=>(A*B)*C eine Tautologie
ist. Tautologische Äquivalenzen braucht man immer dann, wenn man
einen logischen Ausdruck durch einen anderen ersetzen will.
Die Bedeutung der Eigenschaft, tautologisch,
logisch indeterminiert oder kontradiktorisch zu sein, will ich hier nur
am Rande mit wenigen Sätzen andeuten:
Logisch determinierte Sätze sind von
der Empirie unabhängig. Richtige Schlußfolgerungen müssen
die logische Struktur einer tautologischen Implikation haben. Tatsachenbehauptungen
haben nur dann Wert für die Erkenntnis, wenn sie logisch indeterminiert
sind. Nur dann sind sie überhaupt wirkliche Tatsachenbehauptungen.
In einer Theorie dürfen keine Kontradiktionen vorkommen.
Als Nächstes gebe ich ein Beispiel
für die Auswertung eines Schemas.
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6.1
Schema, Schreibweise, Rechenhierarchie
<[A ODER (B UND (A ODER NICHT-B)) ODER (NICHT-A
UND B) ] <=> B>
=> [(A UND C) ODER (A UND NICHT-C)]
(nach Quine, 1969, S.60)
Keine Angst, es wird gleich verständlicher.
Und zwar durch eine geänderte Schreibweise. Es soll im Folgenden gelten:
AvB = A ODER B,
AB = A UND B,
-A = NICHT-A, sowie die folgende Rechenhierarchie:
- Klammer (hebt die Hierarchie auf)
- Quantoren
- Negation
- Konjunktion
- Adjunktion
- Implikation
- Äquivalenz
Diese Rechenhierarchie ist kein Standard, wird aber
weitgehend beachtet. Bei der Auswertung geht man in dieser Hierarchie von oben
nach unten vor. Man geht den Ausdruck von links nach rechts durch und wertet zuerst
den Term in der innersten Klammer aus. Dabei führt man zuerst die Negation
aus, dann die Konjunktion, usw. Quantoren kommen noch nicht vor.
Mit diesen Regeln sieht das Schema wie folgt aus:
<[AvB(Av-B)v-AB]<=>B>=>ACvA-C
Wenn ich es etwas liebevoller aufschreibe, werden
Sie mir sogar glauben, daß diese Schreibweise übersichtlicher ist:
<[A v B(Av-B) v-AB] <=> B>
=> AC v A-C
Die Reihenfolge der Auswertung sieht nach Rechenhierarchie
wie folgt aus:
<[A v B(Av-B) v-AB] <=> B> => AC v A-C
..........-B
.......(Av-B)
......B(Av-B)
...............-A
...............-AB
.[A v B(Av-B) v-AB]
<[A v B(Av-B) v-AB] <=> B>
................................. ..-C
................................. .A-C
..............................AC
..............................AC v A-C
<[A v B(Av-B) v-AB] <=> B> => AC v A-C
6.2 Auswertung
Wenn man mit Wahrheitstafeln auswertet, setzt man
für alle Variablen die Wahrheitswerte in allen möglichen Kombinationen
ein. Man kann aber auch erst einen Wert für eine Variable einsetzen und dann
soweit wie möglich vereinfachen, bevor man weitere Werte einsetzt. (Eine
solche Auswertung durch Vereinfachen kommt schon in 3.1. vor. Dort wird ein einfacher
Term ausgewertet, der sich als logisch wahr erweist.) Oft kommt man so schneller
zu Ziel, wie z.b. im Folgenden:
(I) [Kommentar / Regel
(0) <[A v B(Av-B) v-AB] <=> B> => AC v A-C
(1) <[w v B(wv-B) v-wB] <=> B> => wC v w-C [Einsetzung A:=w
(2) <[w v B( w ) v fB] <=> B> => C v -C [wvX=w, ¬w=f, wX=X
(3) <[w v B v f ] <=> B> => w [Xw=X, fX=f, Xv¬X=w
(4) ... => w
(5) w [(X=>w)=w
(II)
(0) <[A v B(Av-B) v-AB] <=> B> => AC v A-C
(1) <[f v B(fv-B) v-fB] <=> B> => fC v f-C [Einsetzung A:=f
(2) <[f v B( -B) v wB] <=> B> => f v f [fvX=X, ¬f=w,fX=f
(3) <[f v B -B v B] <=> B> => f [wX=X, fvf=f,
(4) <[f v f v B] <=> B> => f [X¬X=f
(5) < B <=> B> => f [fvX=X
(6) w => f [(X<=>X)=w
(7) f [(w=>f)=f
Das ganze Schema reduziert sich also auf A.
6.3
Vereinfachungsregeln
Hier eine Übersicht über die Vereinfachungsregeln
für die wichtigsten Verknüpfungen:
| |
w*X |
f*X |
X*X |
X*¬X |
X*w |
X*f |
| UND |
X |
f |
X |
f |
|
|
| ODER |
w |
X |
X |
w |
|
|
| => |
X |
w |
w |
-X |
w |
-X |
| <=> |
X |
X |
w |
f |
|
|
| >-< |
X |
X |
f |
w |
|
|
Die beiden letzten Spalten entsprechen bei den
kommutativen Operatoren den beiden ersten. Wenn ein Operator in der Vereinfachung
2 Wahrheitswerte verknüpft, so ergibt sich die Vereinfachung direkt aus
seiner Wahrheitstafel.