Eine ganz kurze Einführung in die Logik
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Eine ganz kurze
Einführung in die Logik

  1. Sätze
  2. Logische Verknüpfungen
  3. Die zweistelligen
    Satzoperatoren
  4. Reduktion der Operatoren
    auf nur eine Verknüpfung
  5. Konstruktion mehrstelliger
    Operatoren
  6. Auswertung eines Schemas
  7. Analogie zur Mengenlehre
  8. Quantoren
  9. Literatur

3. Die zweistelligen Satzoperatoren

[3.1 Tautologie]
[3.2 ODER]
[3.3 B=>A]
[3.4 A]
[3.5 Implikation]
[3.6 B]
[3.7 Äquivalenz]
[3.8 UND]
[Zwischenbemerkung]
[3.9 Scheffer-Strich]
[3.10 Disjunktion]
[3.11-B]
[3.12 A UND -B]
[3.13 Negation]
[3.14 -A UND B]
[3.15 Peirce-Funktion]
[3.16 Kontradiktion]
Alle möglichen Verknüpfungen A*B
A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
w w w w w w w w w w f f f f f f f f
w f w w w w f f f f w w w w f f f f
f w w w f f w w f f w w f f w w f f
f f w f w f w f w f w f w f w f w f

 
Als nächstes gehe ich die Spalten der großen Wahrheitstafel durch und beschreibe sie. Dabei gebe ich den Namen der Verknüpfung an, ihre Reduktion auf die Operatoren UND, ODER und NICHT, ihr Symbol in der Formelsprache und ihre Eigenschaften. Dazu ist anzumerken, daß zwei der Merkmale nicht eindeutig sind. Weder für die Namen noch für die Formelzeichen der Verknüpfungen gibt es einen anerkannten Standard. Die Formelzeichen werden nicht auf jedem Computer richtig dargestellt.
Bei den Eigenschaften beschränke ich mich auf drei formale Merkmale:

Kommutativität, Assoziativität und Idempotenz.

DEFINITION: Eine Verknüpfung * ist genau dann kommutativ, wenn gilt: A*B=B*A. Kommutativität ist gegeben, wenn in der Tabelle Zeile 2 und Zeile 3 den gleichen Wahrheitswert enthalten.

DEFINITION: Eine Verknüpfung * ist genau dann assoziativ, wenn gilt: A*(B*C)=(A*B)*C

DEFINITION: Eine Verknüpfung * ist genau dann idempotent, wenn gilt: A*A=A. Idempotenz ist gegeben, wenn in der Tabelle Zeile 1=w und Zeile 4=f ist.

In den folgenden Wahrheitstafeln werden Definitionen gelb hinterlegt, Beweise grün und Widersprüche rot.

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3.1 Tautologie

Definition:
A B Tautologie
w w w
w f w
f w w
f f w
Die Tautologie wird in jedem Falle wahr. In einer Tautologie können beliebig viele Sätze miteinander verknüpft sein. Es gibt unendlich viele Tautologien. Eine ist zum Beispiel A ODER NICHT-A.

Beweis durch Wahrheitstafel:
A NICHT-A A ODER NICHT-A
w  f  w 
f  w  w 
Die Tautologie ist kommutativ, assoziativ, aber nicht idempotent.

Beweis der Assoziativität:
A*(B*C) = A*w = w
(A*B)*C = w*C = w

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3.2 Adjunktion

Definition:
A B ODER
w w w
w f w
f w w
f f f
Auch Alternation genannt. oben eingeführt unter dem Namen ODER. Kommutativ, assotiativ und idempotent.
Formelzeichen: ODER, ∨ Ú, v

Beweis der Assoziativität durch Wahrheitstafel:
A B C AvB BvC (AvB)vC Av(BvC)
w  w  w  w  w  w  w 
w  w  f  w  w  w  w 
w  f  w  w  w  w  w 
w  f  f  w  f  w  w 
f  w  w  w  w  w  w 
f  w  f  w  w  w  w 
f  f  w  f  w  w  w 
f  f  f  f  f  f  f 
 

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3.3 Implikation

Definition:
A B B=>A
w w w
w f f
f w w
f f w
Implikation B => A. Siehe 3.5
[top]  

3.4 A*B=A

Definition:
A B *
w w w
w f w
f w f
f f f
Trivial. Assoziativ, idempotent, nicht kommutativ.
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3.5 Implikation

Definition:
A B A=>B
w w w
w f f
f w w
f f w
Auch Konditional genannt. Entspricht etwa normalsprachlichen Wendungen wie "daraus folgt", "wenn...dann". Unterscheidet sich vom intuitiven Verständnis dadurch, daß im Falle A (f) die Verknüpfung immer wahr ist.

Formelzeichen: =>, ->, Þ

Reduktion: NICHT-A ODER B
Beweis:
A  B NICHT-A A=>B NICHT-A ODER B
w  w  f  w  w 
w  f  f  f  f 
f  w  w  w  w 
f  f  w  w  w 
 

Assoziativität liegt nicht vor, wegen Zeile 6 und Zeile 8 der folgende Tabelle:
A B C A=>B B=>C (A=>B)=>C A=>(B=>C)
w  w  w  w  w  w  w 
w  w  f  w  f  f  f 
w  f  w  f  w  w  w 
w  f  f  f  w  w  w 
f  w  w  w  w  w  w 
f  w  f  w  f  f  w
f  f  w  w  w  w  w 
f  f  f  w  w  f  w
 

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3.6 A*B=B

Definition:
A B *
w w w
w f f
f w w
f f f
Trivial. Idempotent, assoziativ, nicht kommutativ.

Beweis der Assoziativität (gilt auch für 3.4.):
A*(B*C) = B*C = C
(A*B)*C = B*C = C

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3.7 Äquivalenz

Definition:
A B A<=>B
w w w
w f f
f w f
f f w
Auch Bi-Konditional. Zwei äquivalente Sätze sind in logischen Formeln austauschbar.
Reduktion: (NICHT-A ODER B) UND (NICHT-B ODER A)
= (A=>B) UND (B=>A) [nach 3.5]

Beweis:
A B A=>B B=>A (A=>B) UND (B=>A) A<=>B
w  w  w  w  w  w
w  f  f  w  f  f
f  w  w  f  f  f
f  f  w  w  w  w
Kommutativ und assoziativ.
Formelzeichen: <=>, <->, Û, º

Beweis der Assotiativität:
A B C A<=>B B<=>C A<=>(B<=>C) (A<=>B)<=>C
w  w  w  w  w  w  w 
w  w  f  w  f  f  f 
w  f  w  f  f  f  f 
w  f  f  f  w  w  w 
f  w  w  f  w  f  f 
f  w  f  f  f  w  w 
f  f  w  w  f  w  w 
f  f  f  w  w  f  f 
 

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3.8 Konjunktion
Definition:
A B A UND B
w w w
w f f
f w f
f f f
Oben eingeführt mit UND.
Kommutativ, assoziativ und idempotent.
Formelsprache:A UND B, AB, A&B, AÙB , +, &and;

Beweis der Assoziativität :
A B C A und B B und C (A und B) UND C A UND (B und C)
w  w  w  w  w  w  w 
w  w  f  w  f  f  f 
w  f  w  f  f  f  f 
w  f  f  f  f  f  f 
f  w  w  f  w  f  f 
f  w  f  f  f  f  f 
f  f  w  f  f  f  f 
f  f  f  f  f  f  f 
 

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ZWISCHENBEMERKUNG:

Die Spalten 9 - 16 stellen symmetrisch die Negationen der Spalten 1.-8. dar. Es gilt also für die Verknüpfung *(n) mit der Nummer n:
NICHT-(A *(n) B) = A *(17-n) B .
Keiner der Operatoren ist idempotent. Die Kommutativität verhält sich symmetrisch.


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3.9 Scheffer-Strich

Definition:
A B A/B
w w f
w f w
f w w
f f w
Reduktion: NICHT-(A UND B)
Formelzeichen: /
Kommutativ.

Nicht assoziativ:
A B C A/B B/C (A/B)/C A/[B/C]
w  w  w  f  f  w  w 
w  w  f  f  w  w  f
w  f  w  w  w  f  f 
w  f  f  w  w  w  f
f  w  w  w  f  f  w
f  w  f  w  w  w  w 
f  f  w  w  w  f  w
f  f  f  w  w  w  w 
 

  
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 3.10 Kontravalenz oder Disjunktion

Definition:
A B A>-<B
w w f
w f w
f w w
f f f
Normalsprachlich: entweder... oder
Formelzeichen:>-<
Kommutativ.

Assoziativ. Beweis:
A B C A>-<B B>-<C (A>-<B) >-< C A >-< (B>-<C)
w  w  w  f  f  w  w 
w  w  f  f  w  f  f 
w  f  w  w  w  f  f 
w  f  f  w  f  w  w 
f  w  w  w  f  f  f 
f  w  f  w  w  w  w 
f  f  w  f  w  w  w 
f  f  f  f  f  f  f 
 

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3.11 Negation
Definition:
A B NICHT B
w w f
w f w
f w f
f f w
Formelsprache: -B, ¬B
Kommutativ und assoziativ analog zu den Spalten 4 und 6.
  [top] 
3.12 A UND NICHT-B

Definition:
A B *
w w f
w f w
f w f
f f f
Nicht kommutativ.

Nicht assotiativ:
A B C A*B B*C (A*B)*C A*(B*C)
w  w  w  f  f  f  w
w  w  f  f  w  f  f 
w  f  w  w  f  f  w
w  f  f  w  f  w  w 
f  w  w  f  f  f  f 
f  w  f  f  w  f  f 
f  f  w  f  f  f  f 
f  f  f  f  f  f  f 
 

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3.13 Negation

Oben eingeführt mit NICHT.

Definition:
A B NICHT A
w w f
w f f
f w w
f f w
Formelsprache: -A, ¬A
Kommutativ und assoziativ analog zu den Spalten 4 und 6 der Übersichtstabelle:
 
Alle möglichen Verknüpfungen A*B
A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
w w w w w w w w w w f f f f f f f f
w f w w w w f f f f w w w w f f f f
f w w w f f w w f f w w f f w w f f
f f w f w f w f w f w f w f w f w f
 

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3.14 NICHT-A UND B

Definition:
A B *
w w f
w f f
f w w
f f f
Nicht kommutativ.

Nicht assoziativ:
A B C A*B B*C (A*B)*C A*(B*C)
w  w  w  f  f  w  f
w  w  f  f  f  f  f 
w  f  w  f  w  w  f
w  f  f  f  f  f  f 
f  w  w  w  f  f  f 
f  w  f  w  f  f  f 
f  f  w  f  w  w  w 
f  f  f  f  f  f  f 
 

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3.15 Peirce-Funktion
Definition:
A B A\B
w w f
w f f
f w f
f f w
Reduktion: NICHT-(A ODER B).
Formelzeichen: \
Kommutativ.

Nicht assoziativ:
A B C A\B B\C (A\B)\C A\(B\C)
w  w  w  f  f  f  f 
w  w  f  f  f  w  f
w  f  w  f  f  f  f 
w  f  f  f  w  w  f
f  w  w  f  f  f  w
f  w  f  f  f  w  w 
f  f  w  w  f  f  w
f  f  f  w  w  f  f 
 

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3.16 Kontradiktion

Definition:
A B Kontradiktion
w w f
w f f
f w f
f f f
Jeder Satz, der logisch falsch ist.
Kommutativ und assoziativ analog zu Spalte 1.

Eine Kontradiktion ist zum Beispiel A UND NICHT-A.
Beweis:
A -A A UND -A Kontradiktion
w f f f
f w f f
   
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Zuletzt aktualisiert am 30.04.1999