Eine ganz kurze Einführung in die Logik
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Eine ganz kurze
Einführung in die Logik

  1. Sätze
  2. Logische Verknüpfungen
  3. Die zweistelligen
    Satzoperatoren
  4. Reduktion der Operatoren
    auf nur eine Verknüpfung
  5. Konstruktion mehrstelliger
    Operatoren
  6. Auswertung eines Schemas
  7. Analogie zur Mengenlehre
  8. Quantoren
  9. Literatur

2. Logische Verknüpfungen

Logische Verknüpfungen werden auch Satzoperatoren genannt.

DEFINITION:
Ein Satzoperator ist eine Vorschrift, nach der man mehrere Sätze zu einem neuen Satz zusammenfaßt.

Diese Vorschriften werden in Wahrheitstafeln angegeben. Eine Wahrheitstafel ist die Definition eines Satzoperators. Das versteht man am besten, wenn man die Logik als formales System einführt und von der natürlichen Sprache ganz absieht.

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2.1 Die Logik als formales System

Die Logik arbeitet mit Variablen, die zwei Werte annehmen können. Die Wertemenge ist W={w,f}, gesprochen wahr und falsch. Man verknüpft zwei Aussagen, indem man für jede mögliche Kombination ihrer Wahrheitswerte den Wert der Verknüpfung angibt. Das schreibt man in einer Tabelle auf:

(zum Beispiel)
A B A*B
w w w
w f f
f w f
f f f
Das Sternchen bezeichnet eine beliebige Verknüpfung. Die dritte Spalte dieser Tabelle enthält die Definition der Verknüpfung. Solche Definitionen sind in diesem Text stets hellgelb hinterlegt. In den vier Feldern, kann jeweils einer von zwei möglichen Werten stehen. Es gibt also 16 Möglichkeiten, diese Spalte auszufüllen. Damit gibt es auch 16 mögliche zweistellige Satzoperatoren. Man kann alle möglichen Satzoperatoren in einer großen Tabelle darstellen:
 
Alle möglichen Verknüpfungen A*B
A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
w w w w w w w w w w f f f f f f f f
w f w w w w f f f f w w w w f f f f
f w w w f f w w f f w w f f w w f f
f f w f w f w f w f w f w f w f w f

 

Von diesen Satzoperatoren tragen einige Namen, andere nicht. Einige tragen Symbole und werden oft verwendet, andere findet man selten, einige so gut wie nie.
 

Alle möglichen Verknüpfungen A*B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Tautologie ODER B=>A A Implikation B Äquivalenz UND Scheffer-Strich Disjunktion NICHT-B AUND NICHT-B NICHT-A NICHT-A UND B Peirce-Funktion Kontradiktion
w w w w w w w w f f f f f f f f
w w w w f f f f w w w w f f f f
w w f f w w f f w w f f w w f f
w f w f w f w f w f w f w f w f
 
In der folgenden Tabelle sind nur die Operatoren enthalten, die von Logikern normalerweise benutzt werden. Die Dubletten bei Negation (11/13) und Implikation (3/5) wurden entfernt.
 
Gebräuchliche Verknüpfungen A*B
1 2 4 5 6 7 8 9 10 13 15 16
Tautologie ODER A A=>B B Äquivalenz UND Scheffer-Strich Disjunktion NICHT-A Peirce-Funktion Kontradiktion
w w w w w w w f f f f f
w w w f f f f w w f f f
w w f w w f f w w w f f
w f f w f w f w f w w f
 

Hier nochmal die komplette Tabelle um 90 Grad gedreht. Die Darstellung ist zwar unüblich, wird aber im Browser besser wiedergegeben. Wenn Sie für w=0 und f=1 einsetzen, entsprechen die Wahrheitswerte den Binärzahlen 0-15.
 
1 Tautologie w w w w
2 ODER w w w f
3 B impliziert A w w f w
4 A w w f f
5 A=>B w f w w
6 B w f w f
7 Äquivalenz w f f w
8 UND w f f f
9 Scheffer-Strich f w w w
10 Disjunktion f w w f
11 NICHT-B f w f w
12 A UND NICHT-B f w f f
13 NICHT-A f f w w
14 NICHT-A UND B f f w f
15 Peirce-Funktion f f f w
16 Kontradiktion f f f f
 

Diese Tabelle enthält natürlich auch die trivialen Fälle A*B=A und A*B=B, und zwar in den Spalte 4 und 6. Von diesen Spalten ausgehend kann man alle anderen Spalten als echte Verknüpfungen von A und B interpretieren.


2.2 UND, ODER und NICHT

Als erstes führe ich die Verknüpfungen ein, die sich intuitiv anbieten: UND (Spalte 8), ODER (Spalte 2) und NICHT (Spalte 13).

UND (Spalte 8)
Das logische UND entspricht ungefähr dem normalsprachlichen UND, wenn dieses zwischen zwei Hauptsätzen steht. Es ist genau dann wahr, wenn beide Ausgangssätze wahr sind. Es ist auch die Verknüpfung, die die erste Beispieltabelle definiert.

ODER (Spalte 2)
Das logische ODER ist genau dann wahr, wenn mindestens einer seiner Ausgangssätze wahr ist. Es ist also auch dann wahr, wenn beide Sätze zutreffen. Darin unterscheidet es sich von manchen umgangssprachlichen Verwendungen des Wortes ODER.

NICHT (Spalte 13)
Das logische NICHT erzeugt einen neuen Satz aus nur einem anfänglichen Satz. Die einfachste Tabelle zu seiner Definition sieht so aus:
 
NICHT-A
f
w
Es ist also ein einstelliger Satzoperator, und zwar der einzige nichttriviale. Es ist aber auch als zweistelliger Satzoperator darstellbar und taucht so in der großen Tabelle in Spalte 13 als A*B= NICHT-A und in Spalte 11 als A*B= NICHT-B auf.
  

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Urheberrecht: Achim Wagenknecht
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Zuletzt aktualisiert am 09.02.2006