2.1 Die Logik als formales System

(zum Beispiel)

A	B	A*B
w	w	w
w	f	f
f	w	f
f	f	f

Das Sternchen bezeichnet eine beliebige Verknüpfung. Die dritte Spalte dieser Tabelle enthält die Definition der Verknüpfung. Solche Definitionen sind in diesem Text stets hellgelb hinterlegt. In den vier Feldern, kann jeweils einer von zwei möglichen Werten stehen. Es gibt also 16 Möglichkeiten, diese Spalte auszufüllen. Damit gibt es auch 16 mögliche zweistellige Satzoperatoren. Man kann alle möglichen Satzoperatoren in einer großen Tabelle darstellen:
 

Alle möglichen Verknüpfungen A*B

A	B	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
w	w	w	w	w	w	w	w	w	w	f	f	f	f	f	f	f	f
w	f	w	w	w	w	f	f	f	f	w	w	w	w	f	f	f	f
f	w	w	w	f	f	w	w	f	f	w	w	f	f	w	w	f	f
f	f	w	f	w	f	w	f	w	f	w	f	w	f	w	f	w	f

Von diesen Satzoperatoren tragen einige Namen, andere nicht. Einige tragen Symbole und werden oft verwendet, andere findet man selten, einige so gut wie nie.
 

Hier nochmal die komplette Tabelle um 90 Grad gedreht. Die Darstellung ist zwar unüblich, wird aber im Browser besser wiedergegeben. Wenn Sie für w=0 und f=1 einsetzen, entsprechen die Wahrheitswerte den Binärzahlen 0-15.
 

1	Tautologie	w	w	w	w
2	ODER	w	w	w	f
3	B impliziert A	w	w	f	w
4	A	w	w	f	f
5	A=>B	w	f	w	w
6	B	w	f	w	f
7	Äquivalenz	w	f	f	w
8	UND	w	f	f	f
9	Scheffer-Strich	f	w	w	w
10	Disjunktion	f	w	w	f
11	NICHT-B	f	w	f	w
12	A UND NICHT-B	f	w	f	f
13	NICHT-A	f	f	w	w
14	NICHT-A UND B	f	f	w	f
15	Peirce-Funktion	f	f	f	w
16	Kontradiktion	f	f	f	f

 

Diese Tabelle enthält natürlich auch die trivialen Fälle A*B=A und A*B=B, und zwar in den Spalte 4 und 6. Von diesen Spalten ausgehend kann man alle anderen Spalten als echte Verknüpfungen von A und B interpretieren.

2.2 UND, ODER und NICHT

UND (Spalte 8)
Das logische UND entspricht ungefähr dem normalsprachlichen UND, wenn dieses zwischen zwei Hauptsätzen steht. Es ist genau dann wahr, wenn beide Ausgangssätze wahr sind. Es ist auch die Verknüpfung, die die erste Beispieltabelle definiert.

ODER (Spalte 2)
Das logische ODER ist genau dann wahr, wenn mindestens einer seiner Ausgangssätze wahr ist. Es ist also auch dann wahr, wenn beide Sätze zutreffen. Darin unterscheidet es sich von manchen umgangssprachlichen Verwendungen des Wortes ODER.

NICHT (Spalte 13)
Das logische NICHT erzeugt einen neuen Satz aus nur einem anfänglichen Satz. Die einfachste Tabelle zu seiner Definition sieht so aus:
 

A	NICHT-A
w	f
f	w

Es ist also ein einstelliger Satzoperator, und zwar der einzige nichttriviale. Es ist aber auch als zweistelliger Satzoperator darstellbar und taucht so in der großen Tabelle in Spalte 13 als A*B= NICHT-A und in Spalte 11 als A*B= NICHT-B auf.